SOGNI NEGLI OCCHI

I QUADRATI MAGICI

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view post Posted on 15/1/2021, 18:37
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I QUADRATI MAGICI




Immagine_149


La storia dei quadrati magici è molto antica. Sembra che gli antichi Cinesi conoscessero un unico quadrato di ordine 3, che chiamavano “Lo Shu”, al quale è associata una leggenda secondo la quale una disastrosa piena del fiume Lo, causata dall’ira dal dio del fiume contro la popolazione, ebbe fine solo dalla comparsa di una tartaruga con inciso sul guscio il triangolo magico, che stava ad indicare di fare sacrifici a 15 divinità. La configurazione del "Lo Shu" era considerata simbolo di armonia e ispirava la pianta di templi e città, divisi in 3 × 3 settori. Si narra che intorno al 2800 a.C. nell'antica Cina, ai tempi della dinastia Shang, l'imperatore Yu si accorse che una tartaruga, dopo ogni inondazione del fiume "Lo" (affluente del fiume Giallo), passava con noncuranza al fianco del sacrificio offerto per il dio del fiume e poi tornava in acqua. L'imperatore notò sul guscio della tartaruga alcuni simboli che riuscì ad interpretare placando così la collera del fiume e le ripetute inondazioni. Inoltre c'è questa altra versione della vicenda: In un piccolo villaggio della Cina, situato lungo le rive del fiume "Lo", secoli e secoli fa, viveva un ragazzino ossuto dagli occhi vispi di nome. Il villaggio viveva di quel po' che la terra donava e che il fiume non inghiottiva durante i suoi straripamenti. Gli anziani, ormai da secoli, offrivano sacrifici al dio del fiume Lo Shu (il saggio del fiume Lo), nella speranza che questi contenesse le acque nel suo letto risparmiando i raccolti, ma, nonostante le offerte, il fiume ciclicamente straripava.

l ragazzo aveva assistito per la prima volta alla forza distruttrice delle acque quando aveva all'incirca 8 anni e da allora, ogni qualvolta l'evento si ripeteva, aveva preso l'abitudine, ad acque ritirate, di percorrere in lungo le rive del fiume alla ricerca di resti del raccolto o comunque di qualcosa da portare al suo anziano nonno. Durante una delle sue passeggiate post-straripamento notò tra i resti "concessi" dal fiume qualcosa che si agitava; si avvicinò e vide uno strano animale che cercava di divincolarsi. Aveva una specie di "corazza" sul dorso nella quale nascondeva sicuramente una testa di cui lui, però, poteva scorgere solo due profondi occhi spaventati. Si fece coraggio e si avvicinò quel tanto che gli permettesse di liberare una delle quattro zampe da un intrecciato arbusto. L'animale, libero, si fermò qualche secondo, poi, timidamente cominciò ad estrarre quella che doveva essere la testa, girò lentamente il collo in direzione del ragazzo e per un attimo i loro occhi si incrociarono. All'improvviso diresse lo sguardo verso il fiume e lentamente, molto lentamente, cominciò a muoversi verso l'acqua. Non si girò più. Intanto il ragazzo guardava l'animale incedere con quell'andatura quasi immobile, fino a vederlo sparire tra gli spruzzi verdastri del fiume.

Raccontò l'accaduto all'anziano nonno che, dalla descrizione fatta, riconobbe subito quella che doveva essere stata una tartaruga. "E' un animale sacro che porta buoni auspici a chi ha la fortuna di incontrarlo", disse il vecchio con voce sommessa. Quella notte il ragazzo non riuscì a dormire, aveva fissa davanti agli occhi l'immagine dell'animale e in particolar modo il suo dorso. Non aveva mai visto nulla di simile. Trascorse circa un anno e nuovamente il fiume straripò. Nonostante fosse passato del tempo, il ragazzo non aveva dimenticato nè l'animale, nè il suo strano guscio. Corse al fiume nella speranza di rivedere la tartaruga e lei era lì, ferma, sembrava lo stesse aspettando. La testa dell'animale era completamente fuori dalla guscio e si ergeva fieramente dritta all'estremità di un collo rugoso. Guardava verso il ragazzo che nel frattempo, un po' intimorito, gli andava incontro. I due vennero a contatto e la tartaruga acconsentì a farsi accarezzare. Erano lì, insieme, come due vecchi amici ed ognuno godeva della compagnia dell'altro. Durante quei minuti, il ragazzo notò che il dorso della tartaruga, che tanto lo aveva colpito la prima volta, era cambiato, c'era qualcosa di diverso. Delle macchie a forma quasi circolare si ripetevano in modo confuso, ma tra loro, erano comunque molto simili. Era giunto il momento di separarsi, la tartaruga cominciò a guardare verso il fiume, il ragazzo capì e la lasciò andare. Ancora una volta sparì tra le acque. "Nonno. E' tornata", gridò il ragazzo rientrando a casa. Riferì di quelle strane macchie confuse, del fatto che non c'erano la prima volta, ne era sicuro. L'anziano cominciò a pensare che forse quelle macchie potessero essere un segno, un messaggio, e che la stessa tartaruga, che il suo ragazzo aveva incontrato, poteva essere una viva manifestazione del dio del fiume, Lo Shu.
"Io credo che il fiume stia cercando di dirti qualcosa.

La prossima volta verrò con te". Non dovettero aspettare molto. Infatti, dopo un altro anno circa, nuovamente le acque del fiume strariparono, distrussero il raccolto e poi si ritirarono. Nonno e nipote si diressero sulle rive e la tartaruga era nuovamente lì ad aspettare il suo giovane amico. Si avvicinò per primo il ragazzo e, mentre questi accarezzava dolcemente la testa dell'animale, pian piano anche l'anziano arrivò nei pressi. Si tenne a distanza sufficiente per poter vedere bene il dorso della tartaruga ed incise su un pezzo di corteccia una riproduzione di quelle strane macchie. Dopo qualche minuto, la tartaruga tornò alle sue acque. Quella sera, nel villaggio, soprattutto tra gli anziani, la tensione si fece palpabile e le discussioni in cerca di una spiegazione furono numerose, ognuno avanzava ipotesi e formulava congetture cercando di comprendere il messaggio nascosto di quelle strane macchie circolari che sembravano poste in modo caotico e senza alcun senso. Continuò così per diverse lune. Il ragazzo, nel frattempo, fremeva dalla curiosità; perchè era così importante per gli anziani riuscire ad interpretare le macchie sul guscio della sua amica tartaruga? Ricordava molto bene quello che aveva visto e lo riprodusse sul vecchio tavolo della cucina, ma al contrario del nonno, che sulla sua corteccia aveva inciso solo le macchie, cominciò col tracciare alcune linee che sembravano dividere il dorso corazzato dell'animale. Dopo le linee, che si intrecciavano suddividendo la superficie in diversi spazi, cominciò a disegnare le macchie cercando di posizionarle così come ricordava. Ne venne fuori una riproduzione abbastanza somigliante dell'animale e del suo guscio tanto discusso (figura sottostante).



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view post Posted on 23/1/2021, 18:38
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Tartaruga con lo schema "Lo Shu" del quadrato magico




Lo_shu_quadrato_magico



Nel disegnare le macchie aveva notato che potevano essere approssimate tutte ad un unico oggetto di forma circolare e che somigliavano molto alle lisce pietre del fiume, proprio quelle che teneva nel suo sacchetto di pelle di capra e con cui spesso giocava insieme ad i suoi amici. Pensò così di fare un gioco: posizionare su di ogni macchia una delle sue "preziose" pietre. Per questo gioco era necessaria una certa destrezza e soprattutto una mano ben ferma perchè le pietre, rotonde e lisce, tendevano a rotolare e a non rispettare la posizione assegnata. Con un po' di pazienza ed una sana determinazione, finalmente riuscì a posizionarle tutte. Fiero, guardò il suo "capolavoro". Poi, rovistando nel suo sacchetto notò che gli erano rimaste solo 5 pietre e pensò di essere stato fortunato ad averne avute in numero sufficiente per completare il gioco. Non ricordava però quale fosse la quantità che aveva sempre avuto nel sacchetto, così decise di contarle, ma, non volendo spostare le pietre posizionate sulle macchie, cominciò il conteggio indicando con il dito, senza toccare: (yī), (èr), (sān), (sì), (w) ... , ma ogni volta perdeva il segno e doveva ricominciare. Le pietre erano molte, troppe e tutte insieme. Come fare? Girando intorno al tavolo, cercava di trovare la posizione che gli permettesse la visuale migliore, quella da cui poteva vedere bene tutte le pietre in modo da non perderne il conto. Dopo qualche giro notò che le linee che aveva disegnato, intersecandosi, creavano degli spazi ben definiti e che in ognuno di essi c'era una certa quantità di pietre. Pensò: "Invece di contarle tutte insieme potrei contarle a gruppi, così come sono posizionate negli spazi, mi segno le diverse quantità ed alla fine posso calcolare la somma completa". Era in gamba il ragazzo e soprattutto, grazie agli insegnamenti del nonno, sapeva contare. Per lui contare le cose era una forma di gioco che spesso faceva, soprattutto durante le interminabili giornate di pioggia che lo costringevano a rimanere da solo in casa; si divertiva nel farlo. Disegnò nuove linee uguali a quelle del suo gioco-tartaruga, contò le quantità nei diversi spazi e segnò tutto nella nuova "scacchiera". Per facilitare la somma finale, diligentemente, incise anche alcune somme parziali.

Questo fu il risultato:



Immagine_149_0



Nell'appuntare le somme parziali delle pietre contate, notò che queste si ripetevano. Aveva calcolato i parziali degli oggetti che si trovavano sulla stessa linea orizzontale: tre parziali tutti con risultato uguale a 15 (figura 1). "Strano" pensò. Rifece i suoi conti, ma non erano errati, no, i risultati era corretti. Provò allora a ripetere la stessa operazione, ma questa volta sommando le pietre che si trovavano lungo la stessa linea verticale. I risultati non erano cambiati: tre parziali tutti con risultato uguale a 15. Spalancò la bocca e rimase in quello stato per alcuni minuti. Sbalorditivo! Qualunque linea tracciata lui seguisse nel calcolare le somme di tre gruppi di pietre, magicamente, appariva quel 15. Non poteva essere una coincidenza. Incise tutti i diversi parziali calcolati sulla nuova scacchiera (Figura 2) e corse a chiamare il nonno. Entrati in casa, nonno ed anziani, si trovarono di fronte alle incisioni del ragazzo e quello che si presentò ai loro occhi era più o meno la figura 2. Gli anziani capirono subito che quello che avevano davanti era la risposta alle loro domande: Lo Shu aveva parlato ed il numero 15 era la chiave del messaggio. Il dio del fiume gli stava dicendo che il 15 doveva essere il numero di sacrifici animali necessario per placare la sua collera. Questo sembrava essere il "desiderio" del saggio fiume e loro avrebbero dovuto esaudirlo.


Nell'appuntare le somme parziali delle pietre contate, notò che queste si ripetevano. Aveva calcolato i parziali degli oggetti che si trovavano sulla stessa linea orizzontale: tre parziali tutti con risultato uguale a 15 (figura 1). "Strano" pensò. Rifece i suoi conti, ma non erano errati, no, i risultati era corretti. Provò allora a ripetere la stessa operazione, ma questa volta sommando le pietre che si trovavano lungo la stessa linea verticale. I risultati non erano cambiati: tre parziali tutti con risultato uguale a 15. Spalancò la bocca e rimase in quello stato per alcuni minuti. Sbalorditivo! Qualunque linea tracciata lui seguisse nel calcolare le somme di tre gruppi di pietre, magicamente, appariva quel 15. Non poteva essere una coincidenza. Incise tutti i diversi parziali calcolati sulla nuova scacchiera (Figura 2) e corse a chiamare il nonno. Entrati in casa, nonno ed anziani, si trovarono di fronte alle incisioni del ragazzo e quello che si presentò ai loro occhi era più o meno la figura 2. Gli anziani capirono subito che quello che avevano davanti era la risposta alle loro domande: Lo Shu aveva parlato ed il numero 15 era la chiave del messaggio. Il dio del fiume gli stava dicendo che il 15 doveva essere il numero di sacrifici animali necessario per placare la sua collera. Questo sembrava essere il "desiderio" del saggio fiume e loro avrebbero dovuto esaudirlo.



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view post Posted on 24/1/2021, 05:25
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Immagine_150



Su questo Quadrato si basa il “KI DELLE 9 STELLE”, ossia la Numerologia Cinese, spiegata in un altro articolo. I quadrati magici erano noti anche in India e in Persia, e giunsero in Europa relativamente tardi, attraverso la mediazione araba; il grande matematico Thābit ibn Qurra, attivo a Baghdad, ne parlò all’inizio del IX secolo. Una lista di quadrati magici di ordine da 3 a 9 fu fornita intorno al 990 nelle “Rasa`il”, un repertorio di epistole di carattere enciclopedico e ispirazione neoplatonica compilato da un gruppo di eruditi arabi di Bassora noto con il nome di "Ikhwan al-safa" (“fratelli di purità”). Il luogo di trasmissione dal mondo arabo all’Europa sembra essere stato la Spagna, visto che il filosofo ed astrologo ebreo Abraham ben Meir ibn Ezra (ca. 1090-1167), che visse a Granada e tradusse molte opere dall’arabo in ebraico, ne parla nelle sue opere di numerologia. Egli viaggiò molto in Italia, e potrebbe essere stato uno dei primi pionieri dell’introduzione dei quadrati magici in Europa. Il primo riferimento ai quadrati magici nel mondo bizantino lo ha fornito il retore e grammatico Manuel Moschopoulos che compilò un trattatello su di essi intorno al 1315, ma pare che l’influenza nella sua epoca sia stata minima, poiché l’opera andò persa e fu ritrovata a Parigi e tradotta dal geometra francese Philippe de la Hire solo all’inizio del Settecento. L’opera di Moschopoulos è importante perché per la prima volta sono esposti alcuni metodi per la costruzione dei quadrati magici di ordine dispari e di ordine pari purché multiplo di 4. Alcuni cenni ai quadrati magici si trovano nel manoscritto numero 2433, in lingua greca, datato giugno-agosto 1339 e conservato alla Biblioteca Universitaria di Bologna, che contiene i quadrati di ordine 6 e di ordine 9 (quadrati del Sole e della Luna).



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view post Posted on 29/1/2021, 18:19
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Quadrato-magico--planetario--del-Sole-e-della-Luna-nel-monoscritto-nQuadrato-magicio--planetario--della-Luna-nel-monoscritto-n

Quadrati magici del Sole e della Luna, nel monoscritto 2433 del giugno-agosto 1339


La vera riscoperta dei quadrati magici in Europa è avvenuta però nel Quattrocento, con la nascita in Italia del Neoplatonismo rinascimentale. La caduta dell’Impero d’Oriente nel 1452 portò all’arrivo delle opere di Platone e dei neoplatonici, nuovamente rivelate all’Occidente tramite i manoscritti greci portati da Bisanzio. Il neoplatonismo rinascimentale ebbe il suo centro a Firenze, di cui il suo più alto esponente fu Marsilio Ficino, e si trattò di un aggregato di dottrine platoniche, neoplatoniche e di altri occultismi filosofici arcaici, come il Corpus Hermeticum attribuito al mitico Ermete Trismegisto, o l’Astrologia.

A questo ermetismo si associò poco dopo l’assimilazione della Kabbalah e delle tecniche numerologiche e combinatorie del misticismo ebraico, che vennero introdotte nella sintesi rinascimentale da Giovanni Pico della Mirandola, sinceramente convinto della possibile convivenza delle sue idee con il cristianesimo. La cacciata degli ebrei dalla Spagna nel 1492 diede poi nuovo vigore agli studi cabalistici in tutta Europa; nacque così la figura del mago rinascimentale, una figura d'elevata dignità, dotata di poteri d’intervento sul mondo mediante la conoscenza di saperi occulti derivanti dall’antico passato.


Le correnti numerologiche sfociarono in una rinascita degli studi matematici, persino in persone lontane da tentazioni occultistiche, come il frate molto concreto Luca Pacioli, che tuttavia chiamò “divina” la proporzione fra due lunghezze disuguali, delle quali la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la somma delle due. Non sorprende pertanto che egli si sia occupato di quadrati magici, nel suo manoscritto del “De viribus quantitatis”, redatto prima del 1510, nei problemi 90-96 ha scritto: “De li numeri in forma quadrata disposti secondo lastronomi figure deli pianeti cioe ch’per lato et diametri sempre fanno tanto, dove 3 a 9. si trovano quelli di ordine da 3 a 9.” Si deve notare come il Pacioli abbia associato i diversi quadrati magici ai sette pianeti astrologici allora conosciuti, secondo una tradizione già iniziata prima del loro arrivo in Europa. Un vero e proprio mago rinascimentale è stato invece il medico, algebrista, inventore e astrologo milanese Girolamo Cardano, a dimostrazione della grande influenza del pensiero magico sugli intellettuali del tempo.

Il movimento di pensiero maturato in Italia si diffuse oltre le Alpi, soprattutto tra coloro che avevano avuto modo di soggiornare nel nostro paese. Tra di essi vi fu l’avventuroso intellettuale e mago Cornelio Agrippa di Nettesheim (1486-1535). La sua opera più celebre, il "De Occulta Philosophia", che circolò in manoscritto a partire dal 1510, è una vera e propria summa delle conoscenze indispensabili al mago rinascimentale, fortemente influenzata dal neoplatonismo, dall’Astrologia e dalla Kabbalah. L’opera fu scritta con la revisione del dotto abate Tritemio (Johann Heidenberg), poliglotta, esoterista e crittografo, del quale era stato allievo. Per Agrippa, la matematica è arte magica per eccellenza: "Così, quando un mago è versato nella filosofia naturale e nella matematica e conosce le scienze che ne derivano, l’aritmetica, la musica, la geometria, l’ottica, l’astronomia e quelle che si esercitano a mezzo di pesi, di misure, di proporzioni, di giunzioni, nonché la meccanica, che è la risultante di tutte queste discipline, può compiere cose meravigliose che stupiscono gli uomini più colti".

Tuttavia nel manoscritto del 1510 non compaiono i quadrati magici, che saranno inseriti solo più tardi, nel lungo periodo di revisione dell’opera che precedette l’edizione a stampa del 1533. Nel frattempo Agrippa aveva viaggiato molto, in Inghilterra, in Francia, nei Paesi Bassi e in Italia, dove studiò la tradizione ermetica e la Kabbalah con maestri che si consideravano eredi di Ficino e di Pico. E’ assai probabile che Agrippa e Pacioli si siano incontrati a Bologna nel 1507, durante il primo viaggio in Italia del tedesco. Non è escluso che da questi contatti possa aver maturato la scelta di inserire i quadrati magici nell’opera a stampa.



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view post Posted on 31/1/2021, 05:05
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Nell’edizione del 1533 i quadrati magici compaiono nel secondo libro, dedicato alla magia celeste, cioè al potere delle stelle e dei pianeti. Secondo Cornelio Agrippa il quadrato magico di ordine 1 simboleggia l'unità e l'eternità, il quadrato magico di ordine 2 non esiste e pertanto indica l'imperfezione dei quattro Elementi, mentre i sette quadrati magici degli ordini da 3 a 9 rappresentano i sette pianeti allora conosciuti; la numerazione è stata assegnata rispettando l'ordine della sequenza planetaria nel sistema magico caldeo. Di ogni quadrato magico, Agrippa ha fornito la descrizione in chiave planetaria, secondo il seguente schema:

Ordine 3: quadrato di Saturno

Ordine 4: quadrato di Giove

Ordine 5: quadrato di Marte

Ordine 6: quadrato del Sole

Ordine 7: quadrato di Venere

Ordine 8: quadrato di Mercurio

Ordine 9: quadrato della Luna.

Ecco ad esempio la descrizione della tavola contenente il quadrato del Sole (n = 6, M = 111):

Durante il Rinascimento fu forte il connubio con l'Arte e numerosi artisti inserirono nelle loro opere quadrati magici di ordine diverso; incisioni o rappresentazioni su tela a cui i quadrati davano un alone di simbolismo e misticismo, rendendo l'opera stessa un enigma da decifrare. In un Quadrato magico, un insieme di numeri interi positivi è disposto in modo che la somma dei numeri contenuti in qualsiasi riga o colonna o diagonale sia sempre la medesima.



Quadrato-magico-di-Saturno


In un vero quadrato magico i numeri sono tutti diversi e consecutivi: per esempio, in un quadrato magico con tre righe e tre colonne, devono essere contenuti tutti i numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Si noti poi che la disposizione dei numeri non è unica, ad esempio:

4 9 2 / 6 1 8 / 2 7 6 / 8 3 4

3 5 7 / 7 5 3 / 9 5 1 / 1 5 9

8 1 6 / 2 9 4 / 4 3 8 / 6 7 2

Il numero N di righe o colonne di un quadrato magico viene chiamato “ordine”, mentre la somma costante S di qualsiasi riga o colonna o diagonale, viene chiamata “costante magica”.

 
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view post Posted on 3/2/2021, 19:05
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Gli esempi sopra citati sono quadrati magici di ordine 3 e costante magica 15:


Nel primo esempio a sinistra abbiamo:

Righe: 4 + 9 + 2 = 15 3 + 5 + 7 = 15 8 + 1 + 6 = 15

Colonne: 4 + 3 + 8 = 15 9 + 5 + 1 = 15 2 + 7 + 6 = 15

Diagonali: 4 + 5 + 6 = 15 2 + 5 + 8 = 15

Dato l’ordine N di un quadrato magico, la costante magica S si può ricavare con la formula:

S = [N x (N² + 1)] / 2

Per esempio, nel caso di ordine 3, abbiamo:

S = [3 x (3² + 1)] / 2 = [3 x (9 + 1)] / 2 = (3 x 10) / 2 = 30 / 2 = 15.

Un esempio di quadrato magico di ordine 4 e, quindi, di costante magica 34, è il seguente:

9 6 3 16 4 15 10 5 14 1 8 11 7 12 13 2




www.scienze-astratte.it/geometria-sacra.html
 
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